ウラムの螺旋が面白い件 - にょきにょきブログ

自然数を渦巻き状に並べ、素数である部分を黒く塗りつぶす。この図をウラムの螺旋と言う。

17	18	19	20	21
16	5	6	7	22
15	4	1	8	23
14	3	2	9	24
13	12	11	10	25

これを一万まで行うと以下の画像が出来上がる。

おお、何やら規則性がぼんやりと浮かび上がるではないか！何やら直線のようなものが見え隠れするので、これらの直線を表す式を出す。

結論から言うと以下の式が算出される。

$f_1(x)=4x^2 - 6x + 3 + 40$

$f_2(x)=4x^2 - 6x + 3 + 106$

$f_3(x)=4x^2 - 10x + 7 + 40$

$f_4(x)=4x^2 - 10x + 7 + 106$

するとこれらは f(1) から f(x) までの各値のうち、得られた値が素数である確率が高いことがわかる。f(1) から f(x) までの各値のうちの素数の割合を出す関数を g(x) と置くと、f1 から f4 は以下のようになる。

$g(f_1(1000)) \approx 0.516$

$g(f_2(1000)) \approx 0.406$

$g(f_3(1000)) \approx 0.507$

$g(f_4(1000)) \approx 0.403$

なんと関数から出力される値のうち、ほぼ半分が素数ではないか！ f(x) = x の場合はでは x=1000 で 0.168, 10000で 0.123 なので上記関数は素数の割合がかなり高いと言える。(参考：素数定理)
関数によって当然 g(f(x)) が変わるわけだが、f(x) の値の大きさや増加率によっても関数の「使え具合」が大きく変わるはずだ。小さな素数より大きな素数を出力したほうが評価が高く、値の増加率が高ければ高いほど(次の素数が大きくなることを期待できるので)関数の評価も高くなるべきだ。では、評価関数はどのようにすべきか？

まとめると、評価関数に望むべき事は以下の3つだ。